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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.3. Sea el polinomio de Taylor $P(x)=5(x-3)^{6}+3(x-3)+1$ asociado a la función $y=f(x)$ centrado en $x=3$ de grado 6. Se pide:
a) Calcular $f(3), f^{\prime}(3), f^{(3)}(3)$ y $f^{(4)}(3)$.

Respuesta

El polinomio de Taylor para la función \( f(x) \) centrado en \( x_0 = 3 \) de grado 6 es: $ P(x) = 5(x-3)^{6} + 3(x-3) + 1 $ Para encontrar los valores de \( f(3) \), \( f'(3) \), \( f'''(3) \), y \( f^{(4)}(3) \), podemos comparar cada término de nuestro Taylor, con la estructura que sabemos que tendría que tener:

$ P_6(x) = f(3) + f'(3)(x-3) + \frac{f''(3)}{2!}(x-3)^2 + \frac{f'''(3)}{3!}(x-3)^3 + \frac{f^{(4)}(3)}{4!}(x-3)^4 + \frac{f^{(5)}(3)}{5!}(x-3)^5 + \frac{f^{(6)}(3)}{6!}(x-3)^6 $
  - \( f(3) \) es el término constante del polinomio de Taylor, el que no está acompañado de ningún $(x-3)$ $ f(3) = 1 $ - \( f'(3) \) es el coeficiente de \( (x-3) \)  $ f'(3) = 3 $ - \( f'''(3) \) sería el coeficiente de \( (x-3)^3 \), pero ese término no está presente en nuestro polinomio, lo que significa que: $ f'''(3) = 0 $ - \( f^{(4)}(3) \) sería el coeficiente de \( (x-3)^4 \), pero tampoco este término está presente en el polinomio, por lo tanto: $ f^{(4)}(3) = 0 $
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Avatar Ivan 14 de octubre 19:24
Hola profe, No entiendo como llega a las derivada, porque derivo y me da otra cosa, por favor podría dar alguna explicacion adicional?

Saludos

Avatar Flor Profesor 15 de octubre 10:15
@Ivan Hola Ivan! Acá en este caso lo que usé fue comparar la estructura que sabemos que tiene el polinomio de Taylor de $f$ de orden $6$ centrado en $x=3$ con el que nos dan (porque justo nos lo dan en potencias de $x-3$, por eso podemos hacer ese paralelismo) 

Pero también podrías tranquilamente ir planteando que cada derivada de $f$ y del polinomio en $x=3$ tienen que coincidir. Por ejemplo, para $p'(x)$ nos quedaría así:

$p'(x) = 5 \cdot 6 \cdot (x-3)^5 + 3$

$p'(x) = 30 (x-3)^5 + 3$

Atenti con la derivada de $3(x-3)$ que nos dió 3 -> vos ahí tenés el 3 que es un número multiplicando, así que lo arrastramos multiplicando, y derivamos $x-3$, y esa derivada nos da 1. Por eso nos quedaría 3 esa derivada. También si querés podés hacer la distributiva y te queda $3x - 9$ y ahí también te das cuenta que la derivada es 3

Cuando evaluamos en x = 3, $p'(3)$ nos queda:

$p'(3) = 30 (3-3)^5 + 3 = 0 + 3 = 3 = f'(3)$

Vas a ver que si haces las próximas derivadas usando esta misma idea, te van a dar cero (la derivada tercera y la derivada cuarta), pero como te mostraba en la resolución, también lo podés ver dándote cuenta que no te aparecen los términos $(x-3)^3$ y $(x-3)^4$, entonces si ocurre eso es porque las derivadas 3 y 4 en $x=3$ de $f$ tienen que ser cero 

Avisame si con esto queda un poco más claro! :)
Avatar Ivan 15 de octubre 21:11
@Flor gracias Flor
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