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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.3. Sea el polinomio de Taylor P(x)=5(x−3)6+3(x−3)+1P(x)=5(x-3)^{6}+3(x-3)+1 asociado a la función y=f(x)y=f(x) centrado en x=3x=3 de grado 6. Se pide:
a) Calcular f(3),f′(3),f(3)(3)f(3), f^{\prime}(3), f^{(3)}(3) y f(4)(3)f^{(4)}(3).

Respuesta

El polinomio de Taylor para la función f(x) f(x) centrado en x0=3 x_0 = 3 de grado 6 es: P(x)=5(x−3)6+3(x−3)+1 P(x) = 5(x-3)^{6} + 3(x-3) + 1 Para encontrar los valores de f(3) f(3) , f′(3) f'(3) , f′′′(3) f'''(3) , y f(4)(3) f^{(4)}(3) , podemos comparar cada término de nuestro Taylor, con la estructura que sabemos que tendría que tener:

P6(x)=f(3)+f′(3)(x−3)+f′′(3)2!(x−3)2+f′′′(3)3!(x−3)3+f(4)(3)4!(x−3)4+f(5)(3)5!(x−3)5+f(6)(3)6!(x−3)6 P_6(x) = f(3) + f'(3)(x-3) + \frac{f''(3)}{2!}(x-3)^2 + \frac{f'''(3)}{3!}(x-3)^3 + \frac{f^{(4)}(3)}{4!}(x-3)^4 + \frac{f^{(5)}(3)}{5!}(x-3)^5 + \frac{f^{(6)}(3)}{6!}(x-3)^6
  - f(3) f(3) es el término constante del polinomio de Taylor, el que no está acompañado de ningún (x−3)(x-3) f(3)=1 f(3) = 1 - f′(3) f'(3) es el coeficiente de (x−3) (x-3)   f′(3)=3 f'(3) = 3 - f′′′(3) f'''(3) sería el coeficiente de (x−3)3 (x-3)^3 , pero ese término no está presente en nuestro polinomio, lo que significa que: f′′′(3)=0 f'''(3) = 0 - f(4)(3) f^{(4)}(3) sería el coeficiente de (x−3)4 (x-3)^4 , pero tampoco este término está presente en el polinomio, por lo tanto: f(4)(3)=0 f^{(4)}(3) = 0
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Ivan
14 de octubre 19:24
Hola profe, No entiendo como llega a las derivada, porque derivo y me da otra cosa, por favor podría dar alguna explicacion adicional?

Saludos
0 Responder
Flor
PROFE
15 de octubre 10:15
@Ivan Hola Ivan! Acá en este caso lo que usé fue comparar la estructura que sabemos que tiene el polinomio de Taylor de ff de orden 66 centrado en x=3x=3 con el que nos dan (porque justo nos lo dan en potencias de x−3x-3, por eso podemos hacer ese paralelismo) 

Pero también podrías tranquilamente ir planteando que cada derivada de ff y del polinomio en x=3x=3 tienen que coincidir. Por ejemplo, para p′(x)p'(x) nos quedaría así:

p′(x)=5⋅6⋅(x−3)5+3p'(x) = 5 \cdot 6 \cdot (x-3)^5 + 3

p′(x)=30(x−3)5+3p'(x) = 30 (x-3)^5 + 3

Atenti con la derivada de 3(x−3)3(x-3) que nos dió 3 -> vos ahí tenés el 3 que es un número multiplicando, así que lo arrastramos multiplicando, y derivamos x−3x-3, y esa derivada nos da 1. Por eso nos quedaría 3 esa derivada. También si querés podés hacer la distributiva y te queda 3x−93x - 9 y ahí también te das cuenta que la derivada es 3

Cuando evaluamos en x = 3, p′(3)p'(3) nos queda:

p′(3)=30(3−3)5+3=0+3=3=f′(3)p'(3) = 30 (3-3)^5 + 3 = 0 + 3 = 3 = f'(3)

Vas a ver que si haces las próximas derivadas usando esta misma idea, te van a dar cero (la derivada tercera y la derivada cuarta), pero como te mostraba en la resolución, también lo podés ver dándote cuenta que no te aparecen los términos (x−3)3(x-3)^3 y (x−3)4(x-3)^4, entonces si ocurre eso es porque las derivadas 3 y 4 en x=3x=3 de ff tienen que ser cero 

Avisame si con esto queda un poco más claro! :)
0 Responder
Ivan
15 de octubre 21:11
@Flor gracias Flor
1 Responder